الدوال المركبة :
اذا فرضنا z متغير مركب بدلالة x , y حيث z=x+iy
فالدالة المركبة f(z) function of complex variable
f (z) = X(x,y) + i Y(x,y) / f : D---> C
مع التمييز بين الاحرف الكبيرة و الصغير ة
2-
نعرف دالة مركبة f(z) analytic في المجال D حيث z متغير بدلالة x,y اذا كانت f قابلة للاشتقاق على طريقة Frechet في كل من x,y
وهذا الشرط يتضمن ان تحقق x , y شروط Riemann :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]3_ انواع المجال :
مجال متصل بسيط , مجال متصل مزدوج , مجال متصل معقد
لاحظ المجال المزدوج كانه محدود باطارين
النقاط الحمراء تمثل النقاط التي تجعل الدالة غير معرفة ..
4_التكامل الخطي للدوال المركبة:
( Complex line integral for analytic complex function)
يعرف التكامل الخطي لهذه الدوال كما يلي:
5- نظرية كوشي في تكملات الدوال المعقدة (المركبة):
اي دالة مركبة f(z) analytic معرفة على المجال D المتصل البسيط المغلق بالاطار L فان التكامل الخطي للدالة على اطارL= ٠
وهي نظرية رائعة فمهما كان شكل المجال المغلق دائرة ام قطع او اي شكل مغلق بدلا من ان نجزؤه الى مجموعة مستقيمات و نكشف معادلاتها و نجزء التكامل ثم نجمع ... نستطيع من اول نظرة ان نقول انه مجال مغلق و التكامل الخطي على اطاره = ٠
مثبلا الدالة : f(z) = z^2-3 نريد ان نحسب التكامل الخطي لها على اي مجال مغلق مهما كان شكله التكامل = ٠
- نظرية كوشي المعممة للمجالات المتصلة المزدوجة و المعقدة
في المجال المتصل المزدوج:
الدالة f(z) analytic على المجال D\{a}= T
a نقطة من D تكون الداالة غير معرفة عندها و l هو اطار يحدد a اما L هو اطار المجال D وتنص النظرية ان تكامل الدالة على الاطار L = التكامل على اطار l
و كاننا نقتصر التكامل حول a النقطة التى تجعل الدالة غير معرفة
- تعميم على المجالات المتصلة المعقدة :
اذا كانت f معرفة على المجال D \{ a1,a2,a3,...an} =T
حيث a1,a2,...an مجموعة من النقاط تجعل f غيرمعرفة محاطة باطارات : l1,l2,l3,...ln
6- تطبيقات :
احسب التكامل: I
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]الدالة في هذه الحالة ANALYTIC على اي مجال ماعدا النقطة a اذن مجال مزدوج تخيل دائرة l مركزها a و نصف قطرها r فيكون التكامل على الدائرة مساويا التكامل على المجال المطلوب
عوض (z-a) ب : r.e^it
; t€ (0,2p) -->dz= rie^it dt
ويؤول التكامل الى 2p i
(p=380 degree) i= sqrt (-1
هذا الناتج يعتبر من اهم الاعداد المركبة
7- النظرية النهائية لتكامل كوشي :
اهمية هذه النظرية بربط مشتقة الدالة من الدرجة n مع القطبين الدرجة n+1 مثلا اذا عندك بالمقام 2^(z-a) فان a قطب من الدرجة 2
اما f وفوقها n يعني مشتقة n مرة
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]مثال:
لاحظ ان لدينا a1=0 , a2=2i
لكن a2 لا تنتمي للمجال المطلوب تبقى مشكلة واحدة عند a=0
مساوئ نظرية كوشي في التكاملات المعقدة:
من اهم مساوئ هذه النظرية انك تضيع و قتا في فك الدالة لكي تجعلها مجموعة دوال صغيرة كل منها لا يواجة مشكلة في اكثر من نقطة والا ستضطر لانشاء اطار حول كل a1,a2...an و هذا اصعب و اصعب
لذلك كانت افضل نظرية لحل هذه التكاملات هي RESIDUE THEORY التى جاءت بعد اكتشاف العالم Laurent سلسلة Laurent الشهيرة و كان غرضي من كل هذا الموضوع هو هذه النظرية التي لها تطبيقات مهمة جدا خاصة في بعض التكاملات للدوال الحقيقية الصعبة الحل :
RESIDUES THEORY:
لاي نقطة تجعل الدالة غير معرفة بامكاننا ايجاد residue و ساقتصر على الاقطاب
كما ذكرت : a هي قطب من الدرجة k اذا كانت في المقام :
(z-a)للقوة k في مقام الدالة بحيث تجعل نهايتها = infinity
تحسب res(f,a) residue
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]و يعطى التكامل للدالة بالعلاقة:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]فايهما اسهل تكامل معقد ام نهاية بسيطة??
مثال :
خطوات الحل:
1-ارسم المجال المطلوب تكامل عنده
2-فتش عن النقاط التي تجعل f غر معرفة
3- خذ فقط النقاط المنتمية للمجال
4-احسب نهاية الدالة عند هذه النقاط لتقرر درجة القطب
5-عوض في علاقة res و احسبها لتلك النقاط و اجمع النواتج
6-التكامل المطلوب هو الناتج السابق ضرب 2pi
ساكتفي اليوم ببعض الامثلة و ان شاء الله قريبا ساذكر امثلة عن تكاملات في مجموعة الاعداد الحقيقية تحل بكل سهولة بما يسمى residues
موضوع: درس كامل مهم جدا عن التكامل و الاعداد المركبة 
الثلاثاء يناير 05, 2010 1:14 pm
